Sobre el máximo ó mínimo de la función cuadrática

La presente entrada pretende ser más un ejercicio para un alumno que haya visto las propiedades de orden de los números reales, y que tenga un manejo algebraico básico, usualmente obtenido de la educación media superior. Lo que se quiere mostrar es como con tales herramientas es posible empezar a dar respuestas precisas sobre algunos hechos intuitivos relacionados con objetos matemáticos familiares de nuestra formación básica.

— 1. La función cuadrática —

La función cuadrática está dada por

\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c,\; a\neq 0.

Es una función polinomial de segundo grado. En la siguiente figura podemos ver algunos ejemplos de su gráfica, la que recibe el nombre de parábola:

La función cuadrática

Como puede observar, la función cuadrática sólo tiene un máximo o un mínimo (cosa que probaremos de forma analítica). El punto donde la función cuadrática toma tal valor puede ser calculado sin necesidad de hacer uso del cálculo diferencial, es decir, sin el uso de la derivada. Veamos la idea de cómo hacerlo por medio de ejemplos prácticos, aunque antes resultará conveniente ver algunas propiedades sencillas de la función cuadrática, mismas que nos permitirán tener un mayor control sobre nuestras aseveraciones con respecto a ella. Seguir leyendo

Anuncios
Publicado en Aprendizaje de las matemáticas, Cálculo y Análisis | Etiquetado , , | Deja un comentario

Subgrupos de índice 2

— 1. Subgrupos normales y de índice 2 —

A lo largo de este escrito, {G} denotará un grupo. Recordemos algunas definiciones básicas.

Definición: Sea { H\neq \emptyset} un subconjunto de {G}. Se dice que {H} es un subgrupo si {H} es un grupo con respecto a la operación {\cdot} en {G} restringida a {H}. Denotaremos por {H \leqslant G} si H es subgrupo de G. Además, si {H\subsetneq G} se dirá entonces que {H} es un subgrupo propio de {G} y lo denotaremos por {H < G}.

Observación: Todo grupo {G} posee dos subgrupos usualmente llamados triviales: {\{e\}} y {G} mismo. En algunos textos son llamados también grupos impropios de {G}.

Sea {H} un subgrupo de {G}, donde {G} puede ser de orden finito o infinito. Es posible presentar una partición de {G} mediante {H} y la definición de una relación de equivalencia, de la siguiente manera:

Definición: Sea {H \leqslant G}. Se define la relación siguiente {\sim_{L}} por

\displaystyle a \sim_{L} b \Leftrightarrow a^{-1}b \in H

Análogamente, tenemos la definición correspondiente para {\sim_{R}} dada por

\displaystyle a \sim_{R} b \Leftrightarrow ab^{-1} \in H

Seguir leyendo

Publicado en Álgebra abstracta | Etiquetado , | Deja un comentario

Producto directo de grupos

— 1. Producto directo de grupos —

Definición: Sean {(H, \cdot)} y {(K, \ast )} grupos arbitrarios con elementos neutros {e_H} y {e_K} respectivamente. El producto cartesiano {H \times K} tiene estructura de grupo si se define en él la operación {\star} de la siguiente manera: para {h_1,h_2 \in H} y {k_1,k_2\in K}

\displaystyle (h_1 , k_1)\star (h_2 ,k_2 )=(h_1\cdot h_2, k_1\ast k_2).

El elemento neutro es definido como {(e_H, e_K)} y para {(h,k)\in H \times K} el elemento inverso está dado por {(h,k)^{-1} = (h^{-1},k^{-1})}. El grupo así formado recibe el nombre de producto directo de los grupos {H} y {K}, y lo denotaremos por {H \times K}.

La operación anterior la podemos iterar a una cantidad finita de grupos. Ahora veremos la estructura interna del producto directo.

Proposición: Sea {G=H\times K} el producto directo de {H} y {K}. Entonces {H \times \{e_K\}} es subgrupo de {G}, de igual modo {\{e_H\} \times K \leqslant G}; más aún, son subgrupos normales en G y tenemos la isomorfía de grupos {H \times \{e_K\}\cong H} y {\{e_H\} \times K \cong K}.

Demostración: Se hará solo el caso para el grupo {H} ya que el otro caso es por completo similar. Así, {H \times \{e_K\} \leqslant G} es subgrupo de {G} pues Seguir leyendo

Publicado en Álgebra abstracta | Etiquetado , | Deja un comentario

El teorema de la base de Hilbert

— 1. El teorema de la base de Hilbert —

Este teorema nace de los trabajos realizados por David Hilbert en teoría de invariantes. Someramente, el estudio de propiedades que se mantienen invariantes bajo determinadas transformaciones. Nos dice D. Eisenbud en [1] que se puede expresar una propiedad invariante dando alguna función que asocie a una configuración geométrica un número que sea independiente de la elección de coordenadas. En el momento en el que llega la definición de acción de grupo sobre un conjunto el problema de la teoría de invariantes pudo expresarse de la siguiente manera: Dada una acción de un grupo {G} de automorfismos de un anillo de polinomios {A=k[x_1,x_2,\ldots,x_n]}, encontrar los elementos de {A} que permanecen invariantes bajo la acción del grupo {G}. Resultó que el conjunto de elementos que permanecen invariantes es finito en muchos casos de interés para los matemáticos, lo que permitió realizar estudios en términos finitos.

Ejemplo: Sea {k} un campo y {A=k[x_1,x_2,\ldots,x_n]} el anillo de polinomios. Consideremos a {S_n}, el grupo simétrico sobre el conjunto {\{1,2,\ldots,n \}}. {S_n} actúa sobre {A} como sigue: Para {\sigma \in S_n} y {f\in A}, se define

\displaystyle \sigma(f) = f(x_{\sigma^{-1}(1)}, x_{\sigma^{-1}(2)},\ldots, x_{\sigma^{-1}(n)}).

Por definición {S_n} actúa como un grupo de la {k}-álgebra de automorfismos de de {A} y el conjunto de invariantes está dado por

\displaystyle \{ f\in A : \sigma(f) = f \}

que no es otra cosa sino el anillo de funciones simétricas (y por tanto subanillo de {A}).

Seguir leyendo

Publicado en Álgebra abstracta | Etiquetado , | Deja un comentario

Irreducibilidad y espacios Noetherianos

— 5. Irreducibilidad —

Las siguientes definiciones aplican a espacios topológicos arbitrarios.

Definición: Sean {X} un espacio topológico no vacío y un subespacio {Y\subset X}. Se dice que {Y} es reducible si

\displaystyle Y=Y_1 \cup Y_2,

con {Y_1}, {Y_2} subconjuntos propios cerrados de {X}. Un subespacio {Y\subset X} es irreducible si no es reducible. Una componente irreducible de un espacio topológico {X} es un subconjunto irreducible máximo de {X} (máximo en lo que respecta a la contención de conjuntos).

Observación: El conjunto vacío no se considera irreducible.

Ejemplo: El espacio afín {\mathbb{A}^{1}_{\mathbb{C}}} (ver 4) es irreducible: los subconjuntos propios cerrados de {\mathbb{A}^{1}_{\mathbb{C}}} son conjuntos finitos. Vemos que cualquier abierto {Y \subset \mathbb{A}^{1}_{\mathbb{C}}} es también irreducible.

La irreducibilidad tendrá especial importancia cuando apliquemos los conceptos relacionados al estudio de los conjuntos algebraicos. Seguir leyendo

Publicado en Álgebra abstracta, Geometría | Etiquetado , , | Deja un comentario